Euclides de Alejandría (que vivió en torno a 300 a.C.) sistematizó las matemáticas y la geometría de la Grecia antigua y de Oriente Próximo. Escribió los Elementos, el libro de texto sobre matemáticas y geometría más utilizado de la historia. Algunos libros más antiguos a veces lo confunden con Euclides de Megara. En ocasiones, la economía moderna se considera «una serie de anotaciones a la obra de Adam Smith», que es el autor de La riqueza de las naciones (1776 d.C.). Del mismo modo, gran parte de las matemáticas occidentales han sido una serie de anotaciones a la obra de Euclides, que lo que hacen es desarrollar sus ideas o cuestionarlas.
La vida de Euclides
No se sabe prácticamente nada de la vida de Euclides. En torno a 300 a.C. dirigía su propia escuela en Alejandría, Egipto, pero no sabemos dónde nació, dónde murió, ni en qué años. Parece ser que escribió alrededor de una docena de libros, aunque la mayoría se han perdido.
El filósofo Proclo de Atenas (412-485 d.C.), que vivió siete siglos más tarde, dijo que Euclides «reunió los Elementos, recopiló muchos de los teoremas de Eudoxo, perfeccionó muchos de los de Teeteto y demostró irrefutablemente cosas que sus predecesores no habían demostrado sino más que por encima». El estudioso Estobeo vivió más o menos en la misma época que Proclo y recopiló manuscritos griegos que corrían el riesgo de caer en el olvido. Contó una historia sobre Euclides que suena verídica:
Alguien que había empezado a [estudiar] geometría le preguntó a Euclides, «¿Qué sacaré de aprender estas cosas?» Euclides llamó a su esclavo y le dijo, «Dale [algo de dinero], que tiene que sacar provecho de lo que aprende».
(Heath, 1981, loc. 8625)
La geometría antes de Euclides
En los Elementos, Euclides recopiló, organizó y demostró ideas geométricas que ya se usaban como técnicas aplicadas. A excepción de Euclides y algunos de sus predecesores griegos, como Tales (624-548 a.C.), Hipócrates (470-410 a.C.), Teeteto (417-369 a.C.) o Eudoxo (408-355 a.C.), casi nadie había intentado descubrir por qué las ideas eran ciertas o si eran válidas en general. Tales llegó incluso a convertirse en una celebridad en Egipto porque podía ver los principios matemáticos que fundamentaban las reglas de problemas específicos y luego aplicarlos a otros problemas, tales como establecer la altura de las pirámides.
Los antiguos egipcios sabían mucho de geometría, pero tan solo como métodos prácticos basados en las pruebas y la experiencia. Por ejemplo, para calcular el área de un círculo hacían un cuadrado cuyos lados eran ocho novenos la longitud del diámetro del círculo. El área del cuadrado se acercaba lo suficiente a la del círculo como para que no pudieran detectar la diferencia. Su método le asigna a pi un valor de 3,16, un poco por encima de su valor verdadero de 3,14..., pero se acerca lo suficiente como para servir en la ingeniería sencilla. La mayoría de lo que sabemos sobre las matemáticas del antiguo Egipto proviene del papiro de Rhind, descubierto a mediados del siglo XIX y que hoy en día se encuentra en el Museo Británico.
Los antiguos babilonios también sabían mucho de las matemáticas aplicadas, incluido el teorema de Pitágoras. Las excavaciones arqueológicas en Nínive descubrieron tablillas de arcilla con grupos de tres números que satisfacían el teorema de Pitágoras, tales como 3-4-5, 5-12-13, y números considerablemente mayores. Hasta el 2006, se han descifrado 960 tablillas.
Los Elementos
Euclides no fue el creador de la mayoría de las ideas en los Elementos, pero su contribución es cuádruple:
- Recopiló conocimientos matemáticos y geométricos importantes en un solo libro. Los Elementos es un libro de texto más que de referencia, así que no cubre todo lo que se sabía hasta entonces.
- Proporcionó definiciones, postulados y axiomas. A los axiomas los llama «nociones comunes».
- Presentó la geometría como un sistema axiomático: cada afirmación era un axioma, un postulado o se demostraba mediante pasos lógicos y claros de axiomas y postulados.
- Ofreció algunos de sus propios descubrimientos, como por ejemplo la primera demostración conocida de que hay infinitos números primos.
Los Elementos consta de 13 capítulos (a menudo llamados «libros»), agrupados en tres secciones principales:
Capítulos 1-6: geometría plana.
Capítulos 7-10: aritmética y teoría de números.
Capítulos 11-13: geometría de cuerpos sólidos.
Todos los capítulos empiezan con definiciones y además el capítulo uno también incluye postulados y «nociones comunes» (axiomas). Algunos ejemplos son:
Definición: «Un punto es aquello que no tiene partes».
Postulado: «Se puede dibujar una línea recta de un punto dado a otro». (Esta es la manera de Euclides de decir que las líneas rectas existen).
Noción común: «Cosas iguales a una misma cosas son iguales entre sí».
Aunque las ideas parezcan obvias, eso es precisamente de lo que trata el libro. Euclides quería basar la geometría en ideas tan obvias que nadie pudiera dudar de ellas. A partir de sus definiciones, sus postulados y sus nociones comunes, Euclides deduce el resto de la geometría, que sescribe el espacio normal que vemos alrededor nuestro. Las geometrías modernas «no euclidianas» describen el espacio en distancias astronómicas, a velocidades cercanas a la luz o deformado por la gravedad.
Las demás obras de Euclides
Alrededor de la mitad de las obras de Euclides se han perdido y solo sabemos que existieron porque las mencionan otros escritores de la Antigüedad. Entre ellas, hay libros sobre secciones cónicas, falacias lógicas y «porismas», aunque no se sabe a ciencia cierta lo que eran los «porismas». Las obras de Euclides que todavía se conservan son los Elementos, Data, Sobre las divisiones, Apariencias del cielo (o Fenómenos) y Óptica. En su libro sobre óptica, Euclides argumentó a favor de la misma teoría de la visión que el filósofo cristiano san Agustín.
La influencia de Euclides
Desde la Antigüedad hasta finales del siglo XIX, la gente consideraba los Elementos como un ejemplo perfecto de razonamiento lógico. Se han publicado más de mil ediciones, lo que lo convierte en uno de los libros más populares después de la Biblia. El filósofo del siglo XVII Baruch Spinoza se basó en los Elementos para estructurar su libro Ética, usando el mismo formato de definiciones, postulados, axiomas y demostraciones y en el siglo XX el economista austríaco Ludwig von Mises adoptó el método axiomático de Euclides para escribir sobre economía en su libro La acción humana.
