Euclide

Euclide d'Alexandrie (vécu environ 300 av. J.C.) systématisa les mathématiques et la géométrie grecques anciennes et du Proche-Orient. Il écrivit The Elements, le manuel de mathématiques et de géométrie le plus utilisé de l'histoire. Les livres plus anciens le confondent parfois avec Euclide de Mégara. L'économie moderne a été appelée «une série de notes de bas de page à Adam Smith», auteur de La richesse des Nations (1776). De même, une grande partie des mathématiques occidentales a été une série de notes de bas de page à Euclide, soit en développant ses idées, soit en les contestant.

La vie d'Euclide

On ne sait presque rien de la vie d'Euclide. Vers 300 av. JC, il dirigeait sa propre école à Alexandrie, en Égypte. Nous ne connaissons ni l'année ni son lieu de naissance ou de mort. Il semble avoir écrit une douzaine de livres, dont la plupart sont désormais perdus.

Le philosophe Proclus d'Athènes (412-485 JC), qui vécut sept siècles plus tard, déclara qu'Euclide «avait rassemblé les Eléments, recueillant beaucoup des théorèmes d'Eudoxe, perfectionnant beaucoup de ceux de Théétète, et apportant à une démonstration irréfragable des choses qui n'avaient été que vaguement prouvées par ses prédécesseurs». L'érudit Jean Stobée vivait à peu près au même moment que Proclus. Il recueillit des manuscrits grecs qui risquaient d'être perdus. Il raconta une histoire sur Euclide qui a un accent de vérité:

Quelqu'un qui avait commencé à [étudier] la géométrie demanda à Euclide: «Qu'est-ce que j'obtiendrai en apprenant ces choses ?» Euclide appela son esclave et lui dit: «Donne-lui [un peu d'argent], puisqu'il doit tirer profit de ce qu'il apprend».

(Heath, 1981, loc. 8625)

La géométrie avant Euclide

Dans Les éléments, Euclide rassembla, organisa et prouva des idées géométriques déjà utilisées comme techniques appliquées. À l'exception d'Euclide et de certains de ses prédécesseurs grecs tels que Thalès (624-548 av. JC), Hippocrate (470-410 av. JC), Théétète (417-369 av. JC) et Eudoxe (408-355 av. JC), presque personne n'avait essayé de comprendre pourquoi les idées étaient vraies ou si elles s'appliquaient en général. Thalès était même devenu une célébrité en Égypte parce qu'il pouvait voir les principes mathématiques derrière des règles pour des problèmes spécifiques, puis appliquer les principes à d'autres problèmes tels que la détermination de la hauteur des pyramides.

Les anciens Égyptiens connaissaient beaucoup de géométrie, mais uniquement en tant que méthodes appliquées basées sur les tests et l'expérience. Par exemple, pour calculer la surface d'un cercle, ils créaient un carré dont les côtés mesuraient huit neuvièmes de la longueur du diamètre du cercle. La surface du carré était suffisamment proche de la surface du cercle pour qu'on y trouve quelque différence que ce soit. Leur méthode implique que pi avait une valeur de 3,16, légèrement inférieure à sa valeur réelle de 3,14... mais assez proche pour une ingénierie de base. La plupart de nos connaissances sur les mathématiques égyptiennes anciennes proviennent du Papyrus Rhind, découvert au milieu du XIXe siècle et maintenant conservé au British Museum.

Les anciens Babyloniens connaissaient également beaucoup de mathématiques appliquées, y compris le théorème de Pythagore. Les fouilles archéologiques à Ninive ont découvert des tablettes d'argile avec des triplés de nombres satisfaisant le théorème de Pythagore, tels que 3-4-5, 5-12-13, et avec un nombre bien plus grands . En 2006, 960 des tablettes avaient été déchiffrées.

Les Éléments

Euclide n'est pas à l'origine de la plupart des idées de Les Éléments. Sa contribution se base sur quatre points:

• Il recueillit d'importantes connaissances mathématiques et géométriques dans un seul livre. Les Éléments est un manuel plutôt qu'un livre de référence, il ne couvre donc pas tout ce qui était connu.
• Il donna des définitions, des postulats et des axiomes. Il a qualifié les axiomes de «notions communes».
• Il présenta la géométrie comme un système axiomatique: Chaque énoncé était soit un axiome, un postulat, soit prouvé par des étapes logiques claires des axiomes et des postulats.
• Il donna certaines de ses propres découvertes originales, comme la première preuve connue qu'il y a un nombre infini de nombres premiers.

Les éléments comportent 13 chapitres (souvent appelés «livres»), divisés en trois sections principales :

Chapitres 1-6 : Géométrie plane.
Chapitres 7-10 : Arithmétique et théorie des nombres.
Chapitres 11-13 : Géométrie du solide.

Chaque chapitre commence par des définitions. Le chapitre 1 comprend également les postulats et les «notions communes» (axiomes). Voici quelques exemples :

Définition : «Un point est ce qui n'a aucune partie.»
Postulat : «Mener une ligne droite d'un point quelconque à un point quelconque.» (C'est la façon d'Euclide de dire que les lignes droites existent.)
Notion commune : «Deux choses égales à une troisième sont aussi égales entre elles»

Si les idées semblent évidentes, c'est le but. Euclide voulait fonder sa géométrie sur des idées si évidentes que personne ne pouvait raisonnablement en douter. À partir de ses définitions, de ses postulats et de ses notions communes, Euclide déduisit le reste de la géométrie. Sa géométrie décrit l'espace normal que nous voyons autour de nous. Les géométries modernes «non euclidiennes» décrivent l'espace sur des distances astronomiques, à des vitesses proches de la lumière ou déformées par la gravité.

Les autres œuvres d'Euclide

Environ la moitié des œuvres d'Euclide sont perdues. Nous ne les connaissons que parce que d'autres écrivains anciens y font référence. Les œuvres perdues comprennent des livres sur des sections coniques, des erreurs logiques et des «porismes». Nous ne savons pas bien ce qu'étaient les porismes. Les œuvres d'Euclide qui existent encore sont Les Éléments, Les Données, De la division des figures, Les Phénomènes et Optique. Dans son livre sur l'optique, Euclide plaida pour la même théorie de la vision que le philosophe chrétien saint Augustin.

L'Influence d'Euclide

Depuis l'Antiquité jusqu'à la fin du XIXe siècle, les gens considéraient Les Éléments comme un parfait exemple de raisonnement correct. Plus de mille éditions furent publiées, ce qui en fait l'un des livres les plus populaires après la Bible. Le philosophe néerlandais Baruch Spinoza du XVIIe siècle modélisa son livre Éthique sur Les Éléments, en utilisant le même format de définitions, de postulats, d'axiomes et de preuves. Au XXe siècle, l'économiste autrichien Ludwig von Mises adopta la méthode axiomatique d'Euclide pour écrire sur l'économie dans son livre L'Action humaine.