A matemática grega — o estudo dos números e suas propriedades, padrões, estrutura, espaço, mudanças aparentes e medição — é tradicionalmente atribuída a Tales de Mileto (cerca de 585 a.C.), mas já era claramente compreendida durante os períodos da civilização minoica (2000-1450 a.C.) e micênica (cerca de 1700-1100 a.C.), tendo derivado de sistemas matemáticos mais antigos da Mesopotâmia e do Egito.
Esses sistemas, porém, tinham funções sobretudo práticas, como observa a pesquisadora Rosalie David:
A matemática servia basicamente a propósitos utilitários no Egito e não parece ter sido considerada uma ciência teórica. (217)
A estudiosa Gwendolyn Leick diz o mesmo sobre a matemática mesopotâmica:
A matemática era parte integral do treinamento de escribas e as tabuletas de prática, já no Período Dinástico Antigo, demonstram que a geometria era essencial para a tarefa de dividir parcelas de terra destinadas à agricultura e irrigação. (116)
Tales — e o outro grande matemático do início, Pitágoras (cerca de 571 – cerca de 497 a.C., conhecido sobretudo pelo Teorema de Pitágoras) — viam a matemática como meio de apreender a verdade, elevando-a do nível de simples instrumento prático para a base da compreensão da realidade. Nenhum escrito de Tales sobreviveu, mas ele é considerado o primeiro matemático grego por introduzir a geometria e, ao que parece, por como a aplicava. Pitágoras, possivelmente um de seus alunos, colocou a matemática no centro de sua filosofia, que defendia, entre outras coisas, a reencarnação — partindo da crença de que a alma, assim como os números, era eterna e retornava após a morte em outras e ainda outras formas.
Entre os alunos de Pitágoras estava Hípaso de Metaponto (cerca de 530 – cerca de 450 a.C.), creditado com a descoberta dos números irracionais, cujo trabalho foi posteriormente desenvolvido por Teodoro de Cirene (viveu no século V a.C.). Outro pitagórico, Filolau de Crotona (cerca de 470 – cerca de 385 a.C.), desenvolveu o modelo piricêntrico do universo e foi professor do grande matemático Arquitas de Tarento (viveu no século V a.C.). Arquitas, por sua vez, foi mestre de Eudoxo de Cnido (cerca de 408 – cerca de 355 a.C.), também famoso como brilhante matemático e astrônomo.
Esses matemáticos influenciaram as obras de Platão (424/423 – 348/347 a.C.) e Aristóteles (384-322 a.C.), cujas filosofias foram moldadas pela matemática, especialmente pela geometria. Euclides (cerca de 300 a.C.) estabeleceu a geometria por meio de seus famosos Elementos e é conhecido como o “Pai da Geometria”. O matemático grego mais célebre é o inventor e engenheiro Arquimedes de Siracusa (287-212 a.C.), mas outros nomes notáveis incluem Eratóstenes (cerca de 276–195 a.C.), Apolônio de Perga (cerca de 240 – cerca de 190 a.C.), Aristarco de Samos (cerca de 310 – cerca de 230 a.C.), Hiparco de Niceia (cerca de 190 – cerca de 120 a.C.), Menelau de Alexandria (cerca de 100 d.C.) e Cláudio Ptolomeu (100–170 d.C.). Esses pensadores estabeleceram as bases que seriam posteriormente desenvolvidas por matemáticos posteriores, preservando e expandindo seus trabalhos, o que permitiu o progresso dessa disciplina até a era moderna.
Reivindicação de Herança Roubada
Os sumérios da Mesopotâmia já haviam desenvolvido uma matemática sofisticada ainda no Período Dinástico Antigo (2900–2334 a.C.), com um sistema de notação posicional sexagesimal, baseado em 60. Esse sistema permitiu a criação do conceito que hoje reconhecemos como “tempo” — baseado no número 60 — que define um minuto como 60 segundos e uma hora como 60 minutos. O sistema sumério fornece evidências de compreensão de adição, subtração, multiplicação, divisão, álgebra, geometria, números recíprocos, quadrados e equações quadráticas. Os egípcios, mais conservadores e práticos, trabalhavam com adição, subtração, multiplicação e divisão, incluindo elementos de cálculo e, talvez, de álgebra.
Como já mencionado, os mesopotâmicos e egípcios utilizavam a matemática com fins práticos. Rosalie David detalha:
Os egípcios certamente possuíam um sistema organizado de conhecimento matemático, mas usavam a experiência prática mais do que habilidades de raciocínio para resolver os problemas. Embora tenham começado com conceitos elementares, logo desenvolveram sistemas capazes de lidar com problemas aritméticos e geométricos mais complexos, e fizeram uso de frações. (218)
Portanto, é incorreto afirmar que os gregos inventaram a matemática — embora essa afirmação tenha sido defendida por séculos — e mais correto dizer que eles desenvolveram conceitos matemáticos além do alcançado por civilizações anteriores. Mesmo que a matemática suméria fosse altamente avançada, ela não se comparava ao refinamento da matemática grega a partir do século VI a.C. O Teorema de Pitágoras, por exemplo, já era conhecido pelos babilônios muito antes do nascimento de Pitágoras, mas sua formulação preservou — e parece ter refinado — o conceito.
Ainda assim, a alegação de que a matemática grega e a filosofia grega teriam sido “roubadas” de civilizações anteriores também é imprecisa e uma simplificação que ignora a história real. Os hieróglifos egípcios e a escrita cuneiforme mesopotâmica só foram decifrados entre meados e fins do século XIX, quando já havia sido produzido um vasto corpo de estudos históricos por pesquisadores europeus que só podiam conhecer a história através do que lhes era acessível: fontes gregas e latinas. As “decorações” encontradas em templos, tumbas e inscrições do Egito e da Mesopotâmia não eram reconhecidas como sistemas de escrita até então — e não poderiam ser — uma vez que ainda não haviam sido decifradas por volta de 1820.
Muitas das conclusões dos estudiosos modernos e da era moderna sobre a história antiga precisam hoje ser revistas — e houve, sem dúvida, motivações racializadas em algumas interpretações — mas, de forma geral, eles não marginalizaram civilizações anteriores deliberadamente para favorecer os gregos; eles simplesmente desconheciam a história mesopotâmica e egípcia. Se alguém acredita, conforme uma medição que fez, que sua propriedade cobre X metros, e seu vizinho mais tarde lhe informa que ele é o proprietário desses metros, não se pode acusá-lo de roubo; apenas de equívoco. Se, porém, alguém se recusa a aceitar e responder às novas informações, aí sim pode ser considerado culpado.
A matemática grega, portanto — reconhecida como baseada em sistemas anteriores — data do século VI a.C. Os sistemas minoico e micênico perderam-se durante a Idade das Trevas Grega e não foram reconstruídos. Tales de Mileto, assim, é geralmente compreendido como o primeiro a introduzir a matemática teórica na Grécia, embora a disciplina existisse antes em outras regiões.
Filósofos Pré-Socráticos e Pitagóricos
Tales é o primeiro dos chamados filósofos pré-socráticos — nome dado aos pensadores que viveram na Grécia antes de Sócrates de Atenas (470/469-399 a.C.) — e é, por isso, reconhecido como o primeiro filósofo da Grécia antiga. Segundo obras de escritores gregos posteriores, ele parece ter seguido inicialmente o mesmo paradigma dos babilônios e egípcios, utilizando a matemática para fins práticos. Diz-se, por exemplo, que ele mediu a altura das pirâmides de Gizé calculando a diferença entre suas sombras e a sua própria e que, aplicando princípios matemáticos a um problema logístico, desviou o curso do rio Hális para que o exército do rei Creso (reinou 560–547 a.C.) pudesse atravessá-lo, quando trabalhava como engenheiro a serviço de Creso.
Com o tempo, porém, sua abordagem matemática tornou-se mais teórica, à medida em que propôs axiomas, demonstrou teoremas, definiu o significado do número, desenvolveu a geometria, propôs o chamado Teorema de Tales (para encontrar o centro de um círculo) e aplicou matemática à astronomia, prevendo com precisão o eclipse solar de 28 de maio de 585 a.C.
Pitágoras, porém — também um filósofo pré-socrático — desenvolveu a matemática ainda mais como disciplina de estudo formal. O escritor posterior Proclo comenta: “Pitágoras transformou a filosofia geométrica em uma forma de educação liberal ao buscar seus primeiros princípios em um reino superior da realidade.” (Baird, 16). Para Pitágoras, a matemática era um meio para se alcançar um fim — mas também era o fim em si mesma. Os pré-socráticos anteriores buscavam a Causa Primeira da existência, propondo água, ar, fogo ou elementos sobrenaturais; mas Pitágoras afirmava que a matemática explicava o mundo visível e invisível, porque os números, assim como a criação, não têm começo nem fim.
O número, para Pitágoras, era a Causa Primeira porque podia ser demonstrado que o múltiplo surge do uno — a pluralidade observada no mundo poderia, e efetivamente surgia, de uma única fonte. Seu conceito de número tinha como base um ponto no centro de um círculo — a mônada (mónada), que representava o conceito de Unidade. Da mônada emergia a díade, dois círculos com um centro comum e, ao traçar uma linha horizontal através da interseção deles, formava-se um triângulo equilátero, transformando a díade em tríade, e assim sucessivamente até chegar à década. Portanto, do Uno surgiam os Muitos e, embora os números parecessem limitados em sequência entre 1 e 10, na verdade eram infinitos nas combinações — 11–20, 21–30, e assim por diante para sempre.
Pitágoras aplicou a natureza eterna do número à alma humana, argumentando que o espírito de uma pessoa, tal como os números, retorna repetidamente após a morte em diferentes formas — como na sequência numérica — ora aparecendo como um ser humano, ora como um cão, uma mula ou uma mosca doméstica. Por isso, defendia o vegetarianismo: não havia como saber se o animal abatido não seria, na verdade, o espírito reencarnado de um tio ou pai falecido no corpo de uma galinha.
O estudante de Pitágoras, Filolau de Crotona, rejeitou aquilo que via como “absurdo” em relação à busca da Causa Primeira e dedicou a sua energia ao exame matemático do cosmos, concluindo que a Terra (assim como os outros planetas e o Sol) girava ao redor de um fogo central ilimitado, contrariando o modelo aceito na época de que a Terra era o centro do universo. Filolau rejeitou a escola milesiana de Tales e seus seguidores Anaximandro e Anaxímenes — que insistiam na importância da Causa Primeira — em favor de uma abordagem mais prática da filosofia, reconhecendo como o mundo observável funciona. O pesquisador Robin Waterfield comenta:
[Para Filolau], a verdadeira essência das coisas é acessível apenas aos deuses, ou talvez a um homem com conhecimento divino; e, pela natureza das coisas, nós não podemos conhecer o infinito. Em parte, Filolau está aqui criticando os milesianos ou tentativas semelhantes de descobrir uma realidade última por trás das coisas deste mundo. Ele sugere que isso é impossível, e que o melhor que se pode fazer é tentar dizer quais são as condições necessárias para que o mundo diante de nós exista.” (93)
Arquitas adotou a abordagem de Filolau e também aplicou a matemática para compreender a forma do mundo e seu funcionamento. Arquitas, na verdade, teria sido muito admirado por Platão por sua capacidade de combinar idealismo filosófico e aplicação prática. Ele não foi apenas general em Tarento, eleito sete anos seguidos e considerado invencível, mas também é reconhecido como fundador da mecânica matemática, célebre por resolver o problema geométrico de “duplicar o cubo” e renomado por suas contribuições à astronomia e à teoria musical.
Platão e Aristóteles
Embora Platão normalmente não apareça em listas dos matemáticos gregos, a base da sua filosofia era a matemática e, especificamente, a geometria pura. Platão rejeitou o relativismo defendido por sofistas como Protágoras de Abdera (cerca 485–415 a.C.), que afirmava que “o homem é a medida de todas as coisas” — ou seja, que o indivíduo sozinho define a verdade — e insistiu em verdades universais e eternas que fundamentavam aquilo que era reconhecido como “verdade” na Terra. Para Platão, algo não era “verdadeiro” simplesmente porque alguém acreditava nisso; era verdadeiro na medida em que participava da Forma da Verdade em um plano superior. A geometria, acreditava Platão, estabelecia essas verdades superiores, acalmava as paixões, clareava a mente e libertava o indivíduo da “mentira verdadeira” ou “a mentira na alma”, que fazia alguém acreditar errado sobre os aspectos mais importantes da vida.
Aristóteles — o aluno mais famoso de Platão — é, por outro lado, célebre por suas contribuições à matemática grega. O pesquisador Thomas R. Martin escreve:
Aristóteles via a ciência e a filosofia não como assuntos abstratos isolados das preocupações da existência comum, mas, sim, como a busca disciplinada pelo conhecimento em todos os aspectos da vida. Essa busca exemplificava o tipo de atividade racional humana que, sozinha, poderia trazer a boa vida e a felicidade genuína. (185)
Para Aristóteles, o propósito da vida era a felicidade, e a matemática encorajava o reconhecimento do caminho rumo a esse objetivo. Seja em sua Metafísica, na qual explica a matemática da simetria e como ela reflete a beleza, seja em sua Ética a Nicômaco, na qual defende o equilíbrio pessoal por meio do “justo meio”, a matemática informa seu pensamento tanto quanto informava o de Platão. Aristóteles, entretanto, dedicou muito mais tempo à matemática prática do que seu mestre — assim como fariam muitos matemáticos que viriam depois.
Euclides, Arquimedes, Eratóstenes e Outros
Os Elementos de Euclides — facilmente o livro mais vendido da história antes que a Bíblia ocupasse esse posto — sistematizaram, explicaram e expandiram a matemática em 13 volumes que abordavam construções pitagóricas, paralelismo, a razão áurea, o Teorema de Tales, números primos, cones, pirâmides, óptica, esferas, e definiram o que passaria a ser conhecido como Geometria Euclidiana. Sua obra foi tão influente e popular que Ptolemeu I Sóter (reinou 323–282 a.C.), do Egito, convidou Euclides à sua corte para discutir os Elementos. O pesquisador Lionel Casson comenta:
[Ptolemeu I] deve ter ao menos se aventurado na matemática, pois foi ele quem, ao perguntar a Euclides se não existia um caminho mais curto para aprender geometria do que através dos Elementos, recebeu a célebre resposta: “Não há estrada real.” (32)
Ptolemeu I estabeleceu a Biblioteca de Alexandria, construída durante o reinado de Ptolemeu II Filadelfo (282–246 a.C.), que se tornou um farol para as mentes mais brilhantes da época. Entre elas estava Arquimedes de Siracusa, o maior matemático grego, reconhecido hoje como o mais significativo da Antiguidade. Arquimedes é conhecido como o “Pai da Matemática” por suas contribuições à disciplina, incluindo o equilíbrio dos planos, a medição de círculos, teoremas mecânicos, a medição de esferas e cilindros, o equilíbrio dos planos, a parábola, a elipse, a área de uma espiral, o conceito de flutuabilidade, a invenção do parafuso de Arquimedes com base em princípios matemáticos e a invenção da polia e da alavanca usando os mesmos princípios. Diz-se que ele morreu enquanto estava absorto em um cálculo matemático, ignorando o comando do soldado romano que o matou.
Eratóstenes, um polímata, foi um dos principais bibliotecários da Biblioteca de Alexandria, o primeiro a calcular a circunferência da Terra e a escrever uma geografia abrangente do mundo então conhecido. Ele também é creditado como o criador do termo “geografia”. Seus cálculos astronômicos seriam usados posteriormente por Hiparco de Niceia, considerado o maior astrônomo de sua época. Aristarco de Samos, por sua vez, baseou-se nos desenvolvimentos matemáticos de seus predecessores para formular seu modelo heliocêntrico do universo, rejeitado por Hiparco porque contradizia o modelo aceito então — aquele estabelecido por Aristóteles, considerado autoridade sobre esse e muitos outros assuntos. Cláudio Ptolomeu, em seu Almagesto, condensou os dados astronômicos existentes e acrescentou suas próprias observações, criando uma obra que influenciaria Nicolau Copérnico (1473–1543) e inspiraria a Revolução Científica da Era Moderna.
Conclusão
Mesopotâmia, o antigo Egito, a Civilização do Vale do Indo e a antiga China já haviam desenvolvido princípios matemáticos muito antes da época de Tales de Mileto. O termo “história antiga” deixa de parecer tão antigo quando aplicado, por exemplo, à previsão do eclipse por Tales em 585 a.C., uma vez que astrônomos de outras civilizações já faziam o mesmo mais de dois mil anos antes. Hipócrates, reconhecido como o “pai da medicina”, foi na verdade um recém-chegado ao campo; Sushruta (viveu por volta do século VII/VI a.C.), da Índia antiga, já praticava cirurgias e escrevia tratados médicos séculos antes do nascimento de Hipócrates.
Ainda assim, isso não diminui as contribuições dos matemáticos gregos. O estudioso Thomas Cahill observa:
É importante… recordar que a questão fundamental para todos [os filósofos/matemáticos gregos] — “Qual é a natureza da realidade?” — permanece até hoje uma pergunta essencial que cada um de nós deve tentar responder em nossas vidas. Quando lembramos disso — e reconhecemos o quão pouco progresso fizemos em formular uma resposta satisfatória — ganhamos um pouco de simpatia por eles e pelo entusiasmo incansável com que abordaram sua tarefa colossal. Porque não tinham diretrizes a seguir, enfiaram o nariz em tudo na esperança de encontrar uma resposta adequada; e, no processo, ajudaram a inventar as disciplinas da filosofia, da teologia, das ciências físicas, da medicina, da psicologia, da ciência política e da ética. (151)
Os gregos não inventaram, de fato, nenhuma dessas áreas, mas o desenvolvimento que deram aos conceitos de cada uma lançou as bases para que outros construíssem sobre elas o progresso da civilização ocidental. Quando alguém usa um smartphone, ou pesquisa em seu computador pessoal uma receita para o jantar, deve agradecer aos matemáticos gregos por esse tipo de luxo — por isso, e por muito mais.
